Question

7．如圖，點P是⊙O外一點，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O于點E、F，弦AB⊥PF，垂足為D，延長BO交⊙O于點C，連接AC，BF．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）若AC=12，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）證明：連接OA，由弦AB⊥PF，AD=BD，得到PA=PB，根據(jù)三角形全等得到∠PAO=∠PBO．由于PA為⊙O的切線，得到∠PAO=90°，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD=$\frac{1}{2}$AC=6，由tan∠F=$\frac{1}{2}$，設(shè)BD=x，則DF=2x，OB=OF=DF-OD=6，在R_t△BOD中，由勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OA，
∵弦AB⊥PF，AD=BD，
∴PA=PB，
在△APO和△BPO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{PA=BA}\\{PO=PO}\end{array}\right.$，
∴△APO≌△BPO（SSS），
∴∠PAO=∠PBO．
∵PA為⊙O的切線，
∴∠PAO=90°．
∴∠PBO=90°
∴PB與⊙O相切；

（2）∵AD=BD，BO=CO，
∴OD=$\frac{1}{2}$AC=6，
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)BD=x，則DF=2x，AB=2x，
在R_t△BOD中，OB²=BD²+OD²，
∴（2x-6）²=x²+6²，
解得：x=8，
∴OB=10
∴⊙O的直徑是2BO=2×10=20．

點評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．