Question

2．已知關(guān)于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-$\frac{1}{2}$）=0
（1）求證：這個(gè)方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算△，化簡(jiǎn)得到△=（2k-3）²，易得△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用求根公式計(jì)算出方程的兩根x₁=2k-1，x₂=2，則可設(shè)b=2k-1，c=2，然后討論：當(dāng)a、b為腰；當(dāng)b、c為腰，分別求出邊長(zhǎng)，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長(zhǎng)．

解答 （1）證明：△=（2k+1）²-4×1×4（k-$\frac{1}{2}$）
=4k²-12k+9
=（2k-3）²，
∵無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x=$\frac{2k+1±（2k-3）}{2}$，
∴x₁=2k-1，x₂=2，
∵b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)b=2k-1，c=2，面積=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{15}$=$\sqrt{15}$；
當(dāng)b、c為腰時(shí)，b=c=2，此時(shí)b+c=a，故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC的面積為$\sqrt{15}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．