Question

12．如圖，直線y₁=-$\frac{1}{2}$x+2與x軸，y軸分別交于B，C，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D，連接CD，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形PCDB的面積最大？求出此時(shí)四邊形PCDB面積的最大值和點(diǎn)P坐標(biāo)；
（3）在拋物線上的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△QCD是以CD為腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別令解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+2中x=0和y=0，求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，求出a、b、c的值，進(jìn)而求得解析式；
（2）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，-$\frac{1}{2}$a+2），就可以表示出P的坐標(biāo)，由四邊形PCDB的面積=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）由（2）的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對(duì)稱軸于Q₁，以點(diǎn)D為圓心CD為半徑作圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)Q₂，Q₃，作CE垂直于對(duì)稱軸與點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論．

解答 解：（1）令x=0，可得y=2，
令y=0，可得x=4，
即點(diǎn)B（4，0），C（0，2）；
設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，
將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
即該二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；

（2）如圖1，過點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CE⊥PN于E，
設(shè)M（a，-$\frac{1}{2}$a+2），P（a，-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2），
∴PM=-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2-（-$\frac{1}{2}$a+2）=-$\frac{1}{2}$a²+2a（0≤x≤4）．
∵y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（$\frac{3}{2}$，0），
∵S_{四邊形PCDB}=S_△BCD+S_△CPM+S_△PMB=$\frac{1}{2}$BD•OC+$\frac{1}{2}$PM•CE+$\frac{1}{2}$PM•BN，
=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a（-$\frac{1}{2}$a²+2a）+$\frac{1}{2}$（4-a）（-$\frac{1}{2}$a²+2a），
=-a²+4a+$\frac{5}{2}$（0≤x≤4）．
=-（a-2）²+$\frac{13}{2}$
∴a=2時(shí)，S_{四邊形PCDB的面積最大}=$\frac{13}{2}$，
∴-$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a+2=-$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{3}{2}$×2+2=3，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為：（2，3），
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（2，3）時(shí)，四邊形PCDB的面積最大，最大值為$\frac{13}{2}$；


（3）如圖2，∵拋物線的對(duì)稱軸是x=$\frac{3}{2}$．
∴OD=$\frac{3}{2}$．
∵C（0，2），
∴OC=2．
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
CD=$\frac{5}{2}$．
∵△CDQ是以CD為腰的等腰三角形，
∴CQ₁=DQ₂=DQ₃=CD．
如圖2所示，作CE⊥對(duì)稱軸于E，
∴EQ₁=ED=2，
∴DQ₁=4．
∴Q₁（$\frac{3}{2}$，4），Q₂（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），Q₃（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．