Question

16．如圖，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，作DF∥AC交BC于點(diǎn)F，分別記△ADE，△BDF，?DFCE，△ABC的面積為S₁，S₂，S₃，S有以下結(jié)論：
①若S₁=S₂，則DE為△ABC的中位線；②若S₁=S₃，則2BC=3DE；③S=（$\sqrt{{S}_{1}}+\sqrt{{S}_{2}}$）；④S₃=$\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}$
其中正確的是①②④（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出AD=BD，求出AE=CE，即可得出答案；
②根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出AM=2MN，即可得出答案；
③由平行線可得對(duì)應(yīng)線段成比例，再由相似三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比，進(jìn)而代入求解即可；
④解答本題只需畫出示意圖，先判斷出△BFD∽△DEA，然后根據(jù)面積比等于相似比的平方得出△ABC的面積，進(jìn)而根據(jù)S_DECF=S_ABC-S_ADE-S_DBF可得出答案

解答 解：①、∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∵S₁=S₂，
∴（$\frac{AD}{AB}$）²=（$\frac{BD}{AB}$）²，
∴AD=BD，
∵DE∥BC，
∴AE=EC，
∴DE是△ABC的中位線，∴①正確；

②、過(guò)A作AN⊥BC于N，交DE于M，
∵DE∥BC，
∴AN⊥DE，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴DE=CF，
∵S₁=S₃，
∴$\frac{1}{2}×DE×AM$=CF×MN，
∴AM=2MN，
∵DE∥BC，
∴△ADE∥△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AM}{AN}$=$\frac{2MN}{2MN+MN}$=$\frac{2}{3}$，
∴2BC=3DE，∴②正確；
③、∵DE∥BC，DF∥AC
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴DE=CF，DF=CE，
∵相似三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)邊的平方比，
即$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{AD}{AB}$，$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{S}}$+$\frac{\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{S}}$=$\frac{AD}{AB}$+$\frac{BD}{AB}$=1，
∴$\sqrt{S}$=$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$，∴③錯(cuò)誤；
④∵由題意得：△BFD∽△DEA，
∴可得：$\frac{BD}{AD}$=$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$（面積比等于相似比的平方），
∴$\frac{BD}{AB}$=$\frac{\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}}{1+\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}}$，設(shè)$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$=x，
∵S_ABC=S，
∴$\frac{{S}_{2}}{S}$=（$\frac{BD}{AB}$）²，
∴可得S=S₁+S₂+2S₁$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$，
又∵△ADE、△DBF的面積分別為S₁和S₂，
∴S_DECF=S_ABC-S_ADE-S_DBF=2S₁$\sqrt{\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}}$=2$\sqrt{{S}_{1}•{S}_{2}}$，∴④正確；
故答案為：①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了面積及等積變換、相似三角形的性質(zhì)和判定等，難度適中，對(duì)于此類題目要先根據(jù)相似得出比例式，然后根據(jù)比例的性質(zhì)得出要求圖形的面積表達(dá)式，進(jìn)而得出答案．