Question

11．如圖，已知頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax²-4ax+c與y軸交于點(diǎn)A（0，-3），與x軸兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為8，點(diǎn)B是拋物線上的點(diǎn)，且滿足AB∥x軸，BD⊥x軸于D．
（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在拋物線上確定一點(diǎn)F，使直線EF將四邊形ABDO的面積兩等分，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出c的值，進(jìn)而求出拋物線的對(duì)稱軸，最后利用拋物線與x軸的兩交點(diǎn)間的距離求出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可；
（2）先判斷出EF必過矩形ABDO的對(duì)角線的交點(diǎn)，進(jìn)而求出直線EF的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）先判斷出∠AOC=∠CAF，再分兩種情況利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線與y軸的交點(diǎn)C（0，-3），
∴c=-3，
∵拋物線的解析式為y=ax²-4ax-3，
∴此拋物線的對(duì)稱軸為x=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∵拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離為8，
拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0）和（6，0），
將（-2，0）代入拋物線y=ax²-4ax-3中，得，0=4a+8a-3，
∴a=$\frac{3}{12}$=$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x-3，

（2）∵A（0，-3），且AB∥x軸，
∴B（4，-3），
∴OB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-$\frac{3}{2}$），由（1）知，E（-2，0），
易得，四邊形ABDO是矩形，
∵直線EF將矩形ABDO面積兩等分，
∴EF必過矩形OB的中點(diǎn)（2，-$\frac{3}{2}$），
∵E（-2，0），
∴直線EF的解析式為y=-$\frac{3}{8}$x-$\frac{3}{4}$①，
∵拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{4}$x²-x-3②，
聯(lián)立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=-\frac{39}{16}}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{9}{2}$，-$\frac{39}{16}$）；

（3）如圖，
由（1）拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-x-3，
∴C（2，-4），
∴直線OC的解析式為y=-2x，
記OC與AB的交點(diǎn)為G，
∴G（$\frac{3}{2}$，-3），
在Rt△AOG中，tan∠AOC=$\frac{AG}{OA}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$
過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，
∴AF=2，CH=1，
在Rt△ACF中，tan∠CAF=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AOC=∠CAF，
設(shè)P（m，-3）（0＜m≤4），
∵A（0，-3），C（2，-4），
∴OA=3，OC=$\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{5}$，AP=m，
∵以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，且∠AOC=CAF，
∴①當(dāng)△AOC∽△CAP時(shí)，
∴$\frac{OA}{AC}=\frac{OC}{AP}$，
∴$\frac{3}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{m}$，
∴m=$\frac{10}{3}$，
∴P（$\frac{10}{3}$，-3），
②當(dāng)△AOC∽△PAC時(shí)，
∴$\frac{OA}{AP}=\frac{OC}{AC}$，
∴$\frac{3}{m}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$，
∴m=$\frac{3}{2}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，-3）；
即：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{10}{3}$，-3）或（$\frac{3}{2}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)，矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解（1）的關(guān)鍵是求出拋物線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，解（2）的關(guān)鍵是判斷出EF必過矩形ABDO的對(duì)角線的交點(diǎn)，解（3）的關(guān)鍵是判斷出∠AOC=∠CAF，屬于中考常考題．