Question

9．已知$\frac{x}{{x}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$，求（$\frac{1}{1-x}$-$\frac{1}{1+x}$）÷（$\frac{x}{{x}^{2}-1}$+x）的值．

Answer 1

分析 先對（$\frac{1}{1-x}$-$\frac{1}{1+x}$）÷（$\frac{x}{{x}^{2}-1}$+x）化簡，再根據(jù)$\frac{x}{{x}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$求得x的值，從而可以解答本題．

解答 解：（$\frac{1}{1-x}$-$\frac{1}{1+x}$）÷（$\frac{x}{{x}^{2}-1}$+x）
=$\frac{1+x-（1-x）}{（1-x）（1+x）}÷\frac{x+x（{x}^{2}-1）}{{x}^{2}-1}$
=$\frac{2x}{（1-x）（1+x）}×\frac{（x-1）（x+1）}{{x}^{3}}$
=$-\frac{2}{{x}^{2}}$．
∵$\frac{x}{{x}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$，
∴x²-2=-2x．
解得${x}_{1}=-1+\sqrt{3}，{x}_{2}=-1-\sqrt{3}$．
∴${{x}_{1}}^{2}=（-1+\sqrt{3}）^{2}=4-2\sqrt{3}$，${{x}_{2}}^{2}=（-1-\sqrt{3}）^{2}=4+2\sqrt{3}$．
∴原式=$-\frac{2}{4-2\sqrt{3}}=-\sqrt{3}-2$或原式=$-\frac{2}{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-2$．
即（$\frac{1}{1-x}$-$\frac{1}{1+x}$）÷（$\frac{x}{{x}^{2}-1}$+x）的值是$-\sqrt{3}-2或\sqrt{3}-2$．

點評 本題考查分式的化簡求值，解題的關鍵是對分式的化簡，注意分母是無理式時，要進行分母有理化．