Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC邊的中點，E是AB延長線上的一點，且BE=$\frac{1}{2}$AC，∠BAC的平分線交DE于F．求證：△AEF是等腰三角形．

Answer 1

分析 連接BD，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AD=DC=BD，進(jìn)一步得出BD=BE，∠DAB=∠ABD=2∠FAE；進(jìn)而證得∠FAE=∠BEF，即可證得結(jié)論．

解答 證明：連接BD，
∵BD是Rt△ABC中AC邊上的中線，
∴BD=$\frac{1}{2}$AC，
∵AD=DC，
∴AD=DC=BD，
∴∠DAB=∠ABD=2∠FAE；
∵BE=$\frac{1}{2}$AC，
∴BD=BE，
∴∠BED=∠BDE；
∴∠ABD=2∠BED；
∴∠FAE=∠BEF，
∴AF=EF，
∴△AEF是等腰三角形．

點評 本題考查了直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建等腰三角形是解題的關(guān)鍵．