Question

11．如圖，將邊長為$\sqrt{3}$的正方形ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后得到正方形AB′C′D′．
（1）求證：ED=EB′；
（2）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)HL即可證明△ADE≌△AB'E，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得；
（2）求得∠EAD的度數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)求得ED的長，則△ADE的面積即可求得，然后利用正方形的面積減去△ADE和△AB'E的面積即可求解．

解答 解：（1）連接AE．
在直角△ADE和直角△AB'E中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB'=AD}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△AB'E，
∴DE=EB'；
（2）∵△ADE≌△AB'E，
∴∠DAE=∠DAD'，
又∵∠BAB'=30°，∠BAD=90°，
∴∠ADE=30°，
在直角△ADE中，ED=AD•tan30°=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=1，
則S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•ED=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△AB'E=S_△ADE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又∵S_{正方形ABCD}=（$\sqrt{3}$）²=3，
∴S_陰影=3-2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\sqrt{3}$．

點評 本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明△ADE≌△AB'E是本題的關(guān)鍵．