Question

6．如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，點O在BC邊的中線AD上，⊙O與BC相切于點E，且∠OBA=∠OBC．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑；
（3）求tan∠BAD．

Answer 1

分析 （1）作OF垂直AB于點F，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證得OE=OF，從而證得結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理求得BC，進而求得CD=DB=2，設(shè)⊙O的半徑為r，然后根據(jù)S_△ACD+S_△COB+S_△AOB=S_△ABC，得到$\frac{1}{2}$AC•CD+$\frac{1}{2}$BD•r+$\frac{1}{2}AC•BC$，解關(guān)于r的方程即可求得半徑；
（3）證得Rt△ODE∽Rt△ADC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得DE=$\frac{4}{7}$，即可求得BF=BE=$\frac{18}{7}$，AF=AB-BF=$\frac{17}{7}$，解直角三角形即可求得tan∠BAD=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{6}{17}$．

解答 （1）證明：如圖，作OF垂直AB于點F，
∵⊙O與BC相切于點E，
∴OE⊥BC
又∠OBA=∠OBC，
∴OE=OF，
∴AB為⊙O的切線
（2）解：∵∠C=90°，AC=3，AB=5，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=4，
又D為BC的中點，
∴CD=DB=2，
∵S_△ACD+S_△COB+S_△AOB=S_△ABC
設(shè)⊙O的半徑為r，即
$\frac{1}{2}$AC•CD+$\frac{1}{2}$BD•r+$\frac{1}{2}AC•BC$
∴6+2r+5r=12
∴r=$\frac{6}{7}$
∴⊙O的半徑為$\frac{6}{7}$
（3）解：∵∠C=90°，OE⊥BC，
∴OE∥AC，
∴Rt△ODE∽Rt△ADC，
∴$\frac{OE}{AC}=\frac{DE}{DC}$，
∴DE=$\frac{4}{7}$，
∴BF=BE=$\frac{18}{7}$，
∴AF=AB-BF=$\frac{17}{7}$，
∴tan∠BAD=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{6}{17}$．

點評 本題考查了切線判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．