Question

18．如圖所示，圓的半徑為2，圓的兩條弦AB，CD互相垂直，垂足為E．若圓心O到弦AB的距離OF=1，EF=1．則圖中陰影部分的面積等于7.23（π取3.14）

Answer 1

分析 如圖，連接OB，OC，BC，OA，OD，作OG⊥CE于G，得到四邊形EFOG是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OG=EF=1，求得∠OBF=30°，求得AB=2$\sqrt{3}$，得到BE=CE=$\sqrt{3}+$1，解直角三角形得到HF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=BF=$\sqrt{3}$，求得AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=120°根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，連接OB，OC，BC，OA，OD，作OG⊥CE于G，
∴四邊形EFOG是矩形，
∴OG=EF=1，
∴∠OBF=30°，
∵OB=2，OF=1，OF⊥AB，
∴BF=$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∵OG=OF=1，
∴CD=AB，
∴BE=CE=$\sqrt{3}+$1，
∵OA=OB，OC=OD，
∴∠OAB=∠ODC=∠AOD=30°，
∵HF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AF=BF=$\sqrt{3}$，
∴AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=120°，
∴S₁=S_扇形AOD-2S_△AOE=$\frac{30•π×{2}^{2}}{360}$-2×$\frac{1}{2}$•DE•OG=$\frac{π}{3}$-（$\sqrt{3}$-1），
S₂=S_扇形BOC+2S_△BOE=$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$$+\frac{1}{2}$•BE•OF=$\frac{4}{3}$π+$\sqrt{3}$+1，
∴圖中陰影部分的面積=S₁₊S₂=$\frac{5}{3}$π+2≈7.23．
故答案為：7.23．

點評 本題考查了扇形面積的計算，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．