Question

13．如圖，AB是半圓O的直徑，C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E．
（1）求證：BD平分∠ABC；
（2）求證：BE=2AD；
（3）求$\frac{DE}{BE}$的值．

Answer 1

分析 （1）D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，由圓周角定理可知：∠ABD=∠CBD，所以BD平分∠ABC；
（2）延長(zhǎng)BC與AD相交于點(diǎn)F，易證△BCE≌△ACF（ASA），從而可知BE=AF，在證明AB=BF，從而可證明BE=2AD；
（3）連接OD，交AC于H．設(shè)OH為1，則BC為2，OB=OD=$\sqrt{2}$，DH=$\sqrt{2}-1$，從而可知$\frac{DE}{BE}$=$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$

解答 解：（1）∵D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴由圓周角定理可知：∠ABD=∠CBD
∴BD平分∠ABC
（2）延長(zhǎng)BC與AD相交于點(diǎn)F，
∵C是$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，
∴AC=BC，
由（1）可知：∠FAC=∠CBE，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
在△BCE與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠FCA=∠BCE}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△ACF（ASA），
∴BE=AF，
∵BD平分∠ABC，BD⊥AF，
∴AB=BF，
∴D是AF的中點(diǎn)，
∴BE=AF=2AD
（3）連接OD，交AC于H．
∵D是$\widehat{AC}$的中點(diǎn)，
∴由垂徑定理可知：OD⊥AC，
∵O是AB的中點(diǎn)，
∴OH是△ABC的中位線，
設(shè)OH為1，則BC為2，
∴由勾股定理可知：AB=2$\sqrt{2}$
∴OB=OD=$\sqrt{2}$，
∴DH=$\sqrt{2}-1$，
∵OH∥BC，
∴△DEH∽△BCE
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{DH}{BC}$
∴$\frac{DE}{BE}$=$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及相似三角形的判斷與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，屬于中等題型．