Question

2．同一平面內的點P和圖形G，給出如下定義：在圖形G上若存在兩點M，N，使△PMN為等邊三角形，則稱點P為圖形G的特征點，圖形G為點P的特征線，△PMN為圖形G關于點P的特征三角形．
（1）如圖1，⊙O的半徑為1，OA=$\sqrt{3}$，OB=3．在A，B兩點中，⊙O的特征點是A．
若點C是⊙O的特征點，求OC長度的取值范圍．
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=m．線段AB是點C的特征線，線段AB關于點C的特征三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{9}$，求m的值．
（3）如圖3，直角坐標系中的點A（-2，0），B（0，2$\sqrt{3}$），點C，D分別是射線AB和x軸上的動點，以CD為邊作正方形CDEF，若△ACD是正方形CDEF關于點A的特征三角形．當正方形CDEF的一個頂點落在y軸上時，求此時正方形的邊長．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)特征點的定義即可判斷；②如圖2中，當CE、CF是⊙O切線，△CEF是等邊三角形時，OC的值最大，最大值為2．由此即可解決問題；
（2）如圖3中，作CD⊥AB于點D．由線段AB是點C的特征線，推出CD為線段AB關于點C的特征三角形的高．由線段AB關于點C的特征三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{9}$，推出CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，由此即可解決問題；
（3）分四種情形畫出圖形一一解決即可；

解答 解：（1）如圖1中，觀察圖象可知，⊙O的特征點是點A．

故答案為A；                                
如圖2中，當CE、CF是⊙O切線，△CEF是等邊三角形時，OC的值最大，最大值為2．

觀察圖象可知，0≤OC≤2．

（2）如圖3中，作CD⊥AB于點D．

∵線段AB是點C的特征線，
∴CD為線段AB關于點C的特征三角形的高．
∵線段AB關于點C的特征三角形的面積為$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AC=1，
∴AD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosA=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵∠ACB=∠CDA=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴BC=$\frac{CD}{cos∠BCD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（3）①如圖4中，點E落在y軸上時，設CD=x．

則有AD+OD=OA，
x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=2，
∴x=8-4$\sqrt{3}$
∴CD=8-4$\sqrt{3}$；  
②如圖5中，點F落在y軸上時，設CD=x．

由AC+BC=AB，可得x+2•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=4，
∴x=2$\sqrt{3}$-2，
∴CD=2$\sqrt{3}$-2； 
③如圖6中，點D落在y軸上時，此時點D與點O重合，CD=2；

④如圖7中，點C落在y軸上時，此時點C與點B重合，CD=4．

綜上所述，滿足條件的CD的值為8-4$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$-2或2或4．

點評 本題考查圓綜合題、切線的性質、等邊三角形的性質．正方形的性質、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，學會分類討論，注意不能漏解，屬于中考壓軸題．