Question

14．如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，它的三邊長分別為a，b，c，對于同一個角A的正弦，余弦存在關系式sin²A+cos²A=1，試說明．
（1）在橫線上填上適當內容；
解：∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{c}$．
∴sin²A+cos²A=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{c}$，
∵a²+b²=c²，∴sin²A+cos²A=1．
（2）若∠α為銳角，利用（1）的關系式解決下列問題．
①若sinα=$\frac{4}{5}$，求cosα的值；
②若sinα+cosα=$\frac{3}{2}$，求sinαcosα的值．

Answer 1

分析 （1）根據正余弦的定義得到sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{c}$，則sin²A+cos²A=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$，然后利用勾股定理可得sin²A+cos²A=1；
（2）①利用cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$進行計算；
②把sinα+cosα=$\frac{3}{2}$兩邊平方得到sin²α+2sinαcosα+cos²α=$\frac{9}{4}$，然后利用sin²α+cos²α=1得到1+2sinαcosα=$\frac{9}{4}$，則易得sinαcosα=$\frac{5}{8}$．

解答 解：（1）∵sinA=$\frac{a}{c}$，cosA=$\frac{c}$．
∴sin²A+cos²A=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$，
∵a²+b²=c²，
∴sin²A+cos²A=1；
（2）①∵sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{3}{5}$；
②∵sinα+cosα=$\frac{3}{2}$，
∴（sinα+cosα）²=$\frac{9}{4}$，
∴sin²α+2sinαcosα+cos²α=$\frac{9}{4}$，
∵sin²α+cos²α=1，
∴1+2sinαcosα=$\frac{9}{4}$，
∴sinαcosα=$\frac{5}{8}$．
故答案為$\frac{a}{c}$，$\frac{c}$，$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{c}^{2}}$．

點評 本題考查了同角三角函數的關系：平方關系：sin²A+cos²A=1；（2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA=$\frac{sinA}{cosA}$或sinA=tanA•cosA．