Question

16．如圖，⊙O中，弦AB∥CD，$\widehat{AB}+\widehat{DC}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$，AB=10，DC=12，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

分析 作直徑PQ⊥AB于M，交CD于Q，如圖，連結(jié)OA、OD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得PQ⊥CD，則根據(jù)垂徑定理得到AM=$\frac{1}{2}$AB=5，DN=$\frac{1}{2}$DC=6，$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，$\widehat{DQ}$=$\widehat{CQ}$，再利$\widehat{AB}+\widehat{DC}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$可得$\widehat{AD}$為半圓PQ的一半，所以∠AOD=90°，接著證明△OAM≌△DON得到OM=DN=6，AM=ON=5，然后根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算．

解答 解：作直徑PQ⊥AB于M，交CD于Q，如圖，連結(jié)OA、OD，
∵AB∥CD，
∴PQ⊥CD，AM=$\frac{1}{2}$AB=5，DN=$\frac{1}{2}$DC=6，
∴$\widehat{AP}$=$\widehat{BP}$，$\widehat{DQ}$=$\widehat{CQ}$，
∵$\widehat{AB}+\widehat{DC}=\widehat{AD}+\widehat{BC}$，
∴2$\widehat{AP}$+2$\widehat{DQ}$=2$\widehat{AD}$，
∴$\widehat{AD}$為半圓PQ的一半，
∴∠AOD=90°，
∴∠AOM+∠DON=90°，
而∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠DON=∠OAM，
在△OAM和△DON中
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠DNO}\\{∠OAM=∠DON}\\{OA=DO}\end{array}\right.$，
∴△OAM≌△DON，
∴OM=DN=6，AM=ON=5，
∴MN=OM+ON=6+5=11，
∴梯形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（10+12）×11=121．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．也考查了垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．