Question

16．已知一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+6的圖象與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．
（1）求直線AE的表達式；
（2）過點B作BF⊥AE，垂足為F，求線段BF的長度．
（3）若將已知條件“AE平分∠BAO，交x軸于點E”改變?yōu)椤包cE是線段OB上的一個動點（點E不與點O、B重合）”，過點B作BF⊥AE，垂足為F．設(shè)OE=x，BF=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設(shè)OE=x，作EM⊥AB于M．首先證明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根據(jù)EM²+BM²=EB²，可得x²+4²=（8-x）²，解方程即可．
（2）根據(jù)S_△AEB=$\frac{1}{2}$•EB•OA=$\frac{1}{2}$•AE•BF，即可解決問題．
（3）利用面積即可解決，方法類似（2）．

解答 解：（1）如圖1中，

∵一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x+6的圖象與坐標軸交于A、B點，
∴A（0，6），B（8，0），設(shè)OE=x，作EM⊥AB于M．
∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，
∴OE=EM=x，
在△AEO和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{OE=EM}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AEM，
∴AM=AO=6，
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴BM=4，
在Rt△EBM中，∵EM²+BM²=EB²，
∴x²+4²=（8-x）²，
∴x=3，
∴E（3，0），
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b則$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=-2x+6．

（2）由（1）可知OE=3，AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，EB=5，
∵S_△AEB=$\frac{1}{2}$•EB•OA=$\frac{1}{2}$•AE•BF，
∴BF=$\frac{5×6}{3\sqrt{5}}$=2$\sqrt{5}$．

（3）如圖2中，

在Rt△AOE中，OA²+OE²=AE²，
∴AE=$\sqrt{36+{x}^{2}}$，
∵S_△AEB=$\frac{1}{2}$•EB•OA=$\frac{1}{2}$•AE•BF，
∴BF=$\frac{EB•OA}{AE}$=$\frac{6（8-x）}{\sqrt{36+{x}^{2}}}$，
∴y=$\frac{48-6x}{\sqrt{36+{x}^{2}}}$（0＜x＜8）．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積．勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會利用面積法求高，屬于中考�？碱}型．