Question

20．如圖：在△ABC中，BD、CE分別是△ABC邊AC、AB上的高，直線BD、CE相交于H．
（1）若∠A=60°，求∠BHC的度數(shù)？
（2）猜想，∠BHC與∠A互補嗎？并說明理由？
（3）若∠A為鈍角時，上述關系還存在嗎？試通過畫圖說明是否存在這種關系．（不必說明理由）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)高的定義得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四邊形內角和為360°可計算出∠EHD，然后根據(jù)對頂角相等得到∠BHC的度數(shù)；
（2）利用（1）中的四邊形的內角和和高的意義判定即可；
（3）利用（2）中的結論和過程說明∠BHC與∠A互補．

解答 解：（1）∵BD、CE分別是△ABC邊AC、AB上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，
∴∠EHD=180°-60°=120°，
∴∠BHC=120°．
（2）∠A與∠BHC互補．
理由：∵∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠A+∠BHC=180°．
（3）∠BAC+∠EHD=180°．
∵BD，CE是△ABC的高（已知），
∴∠ADH=∠AEH=90°（高的意義），
∵∠DAE+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，∠DAE=∠BAC，
∴∠BAC+∠EHD=180°．
如圖，

點評 本題考查了三角形內角和定理，四邊形的內角和以及三角形高的意義，解答此類題目要注意三角形的內角和是180°這一隱含的條件來解決．