Question

2．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕EF分別與AB、DC交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．
（1）證明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD=12，DC=18，求△AEF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，運(yùn)用ASA即可判定△ADF≌△AB′E；
（2）先設(shè)FA=FC=x，則DF=DC-FC=18-x，根據(jù)Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，即可得出方程12²+（18-x）²=x²，解得x=13． 再根據(jù)AE=AF=13，即可得出S_△AEF=$\frac{1}{2}•AE•AD$=78．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=∠B′=90°，AD=CB=AB′，
∵∠DAF+∠EAF=90°，∠B′AE+∠EAF=90°，
∴∠DAF=∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠B′}\\{AD=AB′}\\{∠DAF=∠B′AE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AB′E（ASA）．

（2）由折疊性質(zhì)得FA=FC，
設(shè)FA=FC=x，則DF=DC-FC=18-x，
在Rt△ADF中，AD²+DF²=AF²，
∴12²+（18-x）²=x²．
解得x=13． 
∵△ADF≌△AB′E（已證），
∴AE=AF=13，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}•AE•AD$=$\frac{1}{2}×12×13$=78．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于折疊問題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及三角形面積的計(jì)算公式的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是：設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨�角形，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．