Question

14．在直角△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，將∠A沿DE折疊，使點(diǎn)A落在三角形內(nèi)部（不含邊界）的點(diǎn)P處，連接PB、PC．設(shè)P到直線DE的距離d．若△PBC是直角三角形，則d的取值范圍是$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$$≤d＜\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以BC為直徑作⊙O，由直徑所對(duì)的圓周角是90°可知三角形△PBC是直角三角形，在直角△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，可知BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，由翻折的性質(zhì)可知：d=PF=$\frac{1}{2}AP$，當(dāng)點(diǎn)P在AO于圓的交點(diǎn)處時(shí)，d有最小值，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，d有最大值，從而可求得d的取值范圍．

解答 解：以BC為直徑作⊙O．
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BPC=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=2．
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
由翻折的性質(zhì)可知：PA⊥DE，PF=AF．
∴d=PF=$\frac{1}{2}AP$．
如圖1所示：

OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴PA=AO-OP=$\sqrt{13}$-2．
∴d=$\frac{1}{2}AP=\frac{\sqrt{13}-2}{2}$．
如圖2所示：

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，PA=AC=2$\sqrt{3}$，
∴d=$\frac{1}{2}AP$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∵點(diǎn)P不在邊界上，故d＜$\sqrt{3}$．
∴d的取值范圍是$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$$≤d＜\sqrt{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$$≤d＜\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理、含30°直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圓O是解題的關(guān)鍵．