Question

19．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)M在BC邊上，且∠MDF=∠ADF．
（1）求證：△ADE≌△BFE．
（2）連接EM，如果FM=DM，判斷EM與DF的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠ADE=∠BFE，由E為AB的中點(diǎn)，得出AE=BE，由AAS證明△AED≌△BFE即可；
（2）由△AED≌△BFE，得出對(duì)應(yīng)邊相等DE=EF，證明FM=DM，由三角形的三線合一性質(zhì)得出EM⊥DF，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠BFE，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
在△AED和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BFE}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\\{∠AED=∠BEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BFE（AAS）；
（2）解：EM與DM的關(guān)系是EM垂直且平分DF；理由如下：
連接EM，如圖所示：
由（1）得：△AED≌△BFE，
∴DE=EF，
∵∠MDF=∠ADF，∠ADE=∠BFE，
∴∠MDF=∠BFE，
∴FM=DM，
∴EM⊥DF，
∴ME垂直平分DF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．