Question

2．已知：如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上的點，連接AE、CE．
（1）求證：AE=CE；
（2）若將△ABE沿AB翻折后得到△ABF，當(dāng)點E在BD的何處時，四邊形AFBE是正方形？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)和SAS證明△ABE≌△CBE即可；
（2）由折疊的性質(zhì)得出∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AE=$\frac{1}{2}$BD=BE=DE，證出AE=BE=CE=DE=AF=BF，得出四邊形AFBE是菱形，AE⊥BD，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，
在△ABE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABE=∠CBE}&{\;}\\{BE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE．
（2）解：點E在BD的中點時，四邊形AFBE是正方形；理由如下：
由折疊的性質(zhì)得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，
∵∠BAD=90°，E是BD的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$BD=BE=DE，
∵AE=CE，
∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，
∴四邊形AFBE是菱形，E是正方形ABCD對角線的交點，
∴AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴四邊形AFBE是正方形．

點評 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、折疊的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．