Question

5．舊知新意：
我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
嘗試探究：
（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？
初步應(yīng)用：
（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CDE，得到四邊形ABDEA，∠1=130°，則∠2-∠C=50°；
（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
拓展提升：
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數(shù)量關(guān)系？為什么？（若需要利用上面的結(jié)論說明，可接使用，不需說明理由．）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠DBC+∠ECB，再利用三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論整理計算即可得解；
（3）表示出∠DBC+∠ECB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠PBC+∠PCB，然后利用三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（4）延長BA、CD相交于點(diǎn)Q，先用∠Q表示出∠P，再用（1）的結(jié)論整理即可得解．

解答 解：（1）∠DBC+∠ECB
=180°-∠ABC+180°-∠ACB
=360°-（∠ABC+∠ACB）
=360°-（180°-∠A）
=180°+∠A；

（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2-∠C=50°；

（3）∠DBC+∠ECB=180°+∠A，
∵BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$（180°+∠A），
在△PBC中，∠P=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
即∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
故答案為：50°，∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠A；

（4）延長BA、CD于Q，
則∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P，
∴∠BAD+∠CDA=180°+∠Q，
=180°+180°-2∠P，
=360°-2∠P．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟記性質(zhì)并讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．