Question

16．如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，兩對(duì)角線交于M，若AD=BD，AC=AB，∠ADB=90°，試說明：
（1）∠CAB=30°；
（2）BM=BC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)梯形的性質(zhì)，過點(diǎn)D、C作邊AB的垂線，在△ADB中和△ABC中，利用題中的已知條件和直角三角形的性質(zhì)來證明∠CAB=30°；
（2）利用（1）的結(jié)論，在△ABC和△CMB中找∠ACB=∠BMC，等角對(duì)等邊來證明BM=BC．

解答 證明：（1）過D作DF⊥AB交AB于點(diǎn)F，過C作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，則DF∥CG，
∵DC∥AB，
∴DF=CG；
在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴DF是邊AB的中垂線，
∴DF=$\frac{1}{2}$AB，
∴CG=$\frac{1}{2}$AB；
在△ABC中，∵AC=AB，
∴CG=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠CAB=30°；

（2）∵在△ABC中，∠CAB=30°，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×（180-30）=75°；
∵在△ADB中，BD=AD，∠ADB=90°，
∴∠DAB=45°，∠DBA=∠DAB=45°，
∵∠CAB=30°，
∴∠CMB=45°+30°=75°，
∴∠ACB=∠BMC，
∴BM=BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線之間的距離處處相等的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理以及外角的性質(zhì)，
綜合性較強(qiáng)，難度適中．準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．