Question

3．深化理解：新定義：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入“到個(gè)位的值計(jì)為＜x＞，
即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果$n-\frac{1}{2}≤x＜n+\frac{1}{2}，則＜x＞=n$，例如＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…試解決下列問題：
（1）填空：
①＜π＞=3（π為圓周率）
②如果＜x-1＞=3，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為3.5≤x＜4.5
③寫出一組x，y值，使等式＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不成立．例如：x=0.6，y=0.7（寫一組即可）
（2）設(shè)n為常數(shù)，且為正整數(shù)，函數(shù)$y={x^2}-x+\frac{1}{4}$的自變量x滿足＜x＞=n時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y為整數(shù)的個(gè)數(shù)記為a，求a的值（用n表示）

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)＜x＞的定義即可得出結(jié)論．
②根據(jù)＜x＞定義，由＜x-1＞=3列出方程即可解決．
③舉反例說明即可．
（2）由函數(shù)y=x²-x+$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）²，n為整數(shù)，又＜x＞=n，當(dāng)n-$\frac{1}{2}$≤x＜n+$\frac{1}{2}$時(shí)，y隨x的增大而增大，列出不等式，即可解決問題．

解答 解：（1）①由題意可得：＜π＞=3；
故答案為：3，

②∵＜x-1＞=3，
∴2.5≤x-1＜3.5
∴3.5≤x＜4.5；
故答案為：3.5≤x＜4.5；

③舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；
故答案分別為0.6，0.7．

（2））∵函數(shù)y=x²-x+$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）²，n為整數(shù)，又＜x＞=n
當(dāng)n-$\frac{1}{2}$≤x＜n+$\frac{1}{2}$時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴（n-1）²≤y＜n²，
∴n2-2n+1≤y＜n²
∵y為整數(shù)，
∴y=n²-2n+1，n²-2n+2，n²-2n+3，…，n²-2n+2n，共2n-1個(gè)y，
∴a=2n-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題，解決本題的關(guān)鍵是理解：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為＜x＞，即：當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果n-$\frac{1}{2}$≤x＜n+$\frac{1}{2}$，則＜x＞=n，學(xué)會(huì)把問題轉(zhuǎn)化為不等式，屬于中考創(chuàng)新題目．