Question

17．如圖，△ABC中，AB=AC，以邊AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若AB=13，sinB=$\frac{12}{13}$，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，AD，欲證DE是⊙O的切線，只需證明DE⊥OD即可；
（2）根據(jù)已知條件求得AD、BD'DC，利用△ABD∽△DCE對(duì)應(yīng)邊成比例求出CE的即可．

解答 （1）證明：連接OD與AD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC且∠B=∠C，
即D為BC的中點(diǎn)，
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE為⊙O的切線．
（2）解：∵AB=13，sinB=$\frac{12}{13}$，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{12}{13}$，即AD=12，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5，
∴DC=5，
在△ABD和△DCE中，∠B=∠C，∠CED=∠ABD=90°，
∴△ABD∽△DCE，
∴$\frac{DC}{AB}$=$\frac{CE}{BD}$，
∴CE=$\frac{BD•DC}{AB}$=$\frac{25}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵在于如何利用三角形相似求出CE的值．