Question

18．已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，且x₁²+x₂²=6x₁x₂-15，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出△=2k-3≥0，解之即可得出結(jié)論；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，x₁+x₂=k+1、x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，結(jié)合x₁²+x₂²=6x₁x₂-15即可得出關(guān)于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再由（1）的結(jié)論即可確定k值．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴△=[-（k+1）]²-4（$\frac{1}{4}$k²+1）=2k-3≥0，
解得：k≥$\frac{3}{2}$．

（2）∵方程的兩實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，
∴x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$k²+1．
∵x₁²+x₂²=6x₁x₂-15，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-8x₁x₂+15=0，
∴k²-2k-8=0，
解得：k₁=4，k₂=-2．
又∵k≥$\frac{3}{2}$，
∴k=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）由方程解得個(gè)數(shù)結(jié)合根的判別式找出△=2k-3≥0；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系找出k²-2k-8=0．