Question

16．如圖，在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，EP⊥CD于點(diǎn)P．
①EF=PF，②∠EPF=40°，③ED-PC=EP，④S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形BEPC}
其中正確的序號(hào)有①②④．

Answer 1

分析 ①②正確，延長(zhǎng)EF交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．只要證明△BEF≌△CHF即可解決問(wèn)題；
③錯(cuò)誤．由圖象可知，PC＜BE，則可在線段DP上取一點(diǎn)Q，使得PQ=PC，在△EPQ中，EQ＞EP+PQ，易知ED＞EQ，推出DE＞EP+PQ=EP+PC，推出ED-PC＞EP；
④正確．首先證明S_{四邊形BCPH}=S_△EPH，再證明S_△PEF=$\frac{1}{2}$即可解決問(wèn)題；

解答 解：延長(zhǎng)EF交DC的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)．
∵在菱形ABCD中，∠A=100°，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點(diǎn)，
∴∠B=80°，BE=BF．
∴∠BEF=（180°-80°）÷2=50°．
∵AB∥DC，∴∠FHC=∠BEF=50°，
又∵BF=FC，∠B=∠FCH，
∴△BEF≌△CHF．
∴EF=FH．
∵EP⊥DC，
∴∠EPH=90°．
∴FP=FH=EF，則∠FPC=∠FHP=∠BEF=50°，
∴∠EPF=40°，故①②正確，
∵由圖象可知，PC＜BE，則可在線段DP上取一點(diǎn)Q，使得PQ=PC，
在△EPQ中，EQ＞EP+PQ，易知ED＞EQ，
∴DE＞EP+PQ=EP+PC，
∴ED-PC＞EP，故③錯(cuò)誤，
∵EF=FH，
∴S_△EFP=S_△PFH，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_△EPH，
∵S_△BEF=S_△CFH，
∴S_{四邊形BCPH}=S_△EPH，
∴S_△PEF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形BCPE}，故④正確．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定方法、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)．如何作出輔助線是難點(diǎn)．