Question

12．如圖，△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，BC=EC，連接BE、AD．
探究：線段AD與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明（注：兩條線段之間的位置就是其所在直線的位置關(guān)系）

Answer 1

分析 猜測(cè)AD=BE且AD⊥BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及角的計(jì)算即可證出△ECB≌△DCA（SAS），由此即可證出AD=BE，再通過四邊形的內(nèi)角和以及三角形的內(nèi)角和定理即可算出∠H=90°，由此證出AD⊥BE．

解答 解：AD=BE，且AD⊥BE．證明如下：
延長EB、AD交于點(diǎn)H，如圖所示．
∵△ABC和△CDE均為等腰直角三角形，且BC=EC，
∴BC=EC=DC=AC．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ECB+∠BCD=90°=∠BCD+∠DCA，
∴∠ECB=∠DCA．
在△ECB和△DCA中，$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠ECB=∠DCA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴AD=BE．
∠H=360°-∠CEB-∠ECA-∠CAD=360°-（∠CEB+∠CAD+∠ECB+∠BCA），
∵△ECB≌△DCA，
∴∠CAD=∠CBE，
∴∠H=360°-[（∠CEB+∠CBE+∠ECB）+∠BCA]=360°-（180°+90°）=90°，
∴AD⊥BE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．