Question

17．如圖，C為線段AB上一點，以BC為直徑作⊙O，再以AO為直徑作⊙M交⊙O于D、E，過點B作AB的垂線交AD的延長線于F，連結(jié)CD．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）求證：AD²=AC•AB；
（3）若AC=2，且AC與AD的長是關(guān)于x的方程x²-2（1+$\sqrt{5}$）x+k=0的兩個根，求線段BF的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證OD⊥AD即可；已知AO是⊙M的直徑，那么根據(jù)圓周角定理即可判定OD⊥AD，由此得證；
（2）連接BD，由弦切角定理得出∠ABD=∠ADC，故可得出△ADC∽△ABD，由相似三角形的對應邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可求得AD的長，進而可根據(jù)切割線定理求得AB的值；設出DF、BF的長，然后在Rt△ABF中，由勾股定理求出BF的長即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：連接OD；
∵OA是⊙M的直徑，
∴∠ADO=90°；
即OD⊥AD，而OD是⊙O的半徑，
故AD是⊙O的切線．

（2）解：連接BD，
∵由（1）知AD是⊙O的切線，
∴∠ABD=∠ADC．
∵∠A是公共角，
∴△ADC∽△ABD，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AC}{AD}$，即AD²=AC•AB；

（3）解：由題意知：AC+AD=$\sqrt{5}$；
∵AC=2，則AD=2$\sqrt{5}$；
∴由切割線定理知：AD²=AC•AB，即AB=AD²÷AC=10；
∵FD、FB都是⊙O的切線，
∴FD=FB；
設FD=FB=x，則AF=2$\sqrt{5}$+x；
由勾股定理得：AB²+BF²=AF²，即：
10²+x²=（2$\sqrt{5}$+x）²，解得x=4$\sqrt{5}$，即線段BF的長為4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查的圓的綜合題，涉及到切線的判定、切割線定理、切線長定理、勾股定理以及韋達定理等知識的綜合應用，難度適中．