Question

7．如圖1，在等邊△ABC中，點M從點B出發(fā)沿射線BC方向運動，在點M運動的過程中，連接AM，并以AM為邊在射線BC上方作等邊△AMN，連接CN．
（1）當M點運動到線段BC的中點時，∠CAM=30°；
（2）當點M運動到線段BC（不含端點B、C）之間時，求證：CN∥AB；
（3）如圖2，當點M運動到BC延長線上的任意一點（不含端點C），其它條件不變，猜測（2）中結論CN∥AB還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的三線合一的性質即可解決問題；
（2）利用等邊三角形的性質得出AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN，進而得出∠BAM=∠CAN，即可判斷出△ABM≌△ACN（SAS），得出∠ACN=∠ABM=60°，進而得出∠BCN+∠ABM=180°即可得出結論；
（3）同（2）的方法即可得出結論．

解答 （1）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵BM=CM，
∴AM平分∠BAC，
∴∠CAM=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
故答案為30．

（2）證明：∵△ABC和△AMN都是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAN，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB，
（3）成立，
理由如下：
∵△ABC和△AMN都是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAC+∠CAM=∠CAM+∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN
在△ABM和△ACN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAN=∠CAN}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠ACN=∠ABM=60°，
∵∠ACB=60°
∴∠BCN+∠ABM=180°；
∴CN∥AB．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，等式的性質，全等三角形的判定和性質，平行線的性質，解本題的關鍵是用等式的性質得出∠BAM=∠CAN借助（1）的方法解決（2），是一道中等難度的中考常考題．