Question

16．如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連接BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，解答下列問題：
①填空：b=12；
②當BE⊥AC時，求出此時AE的長；
（2）設(shè)AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，求a，b應(yīng)滿足什么條件，并求出此時x的值．

Answer 1

分析 （1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到結(jié)果；
②如圖1，由BE⊥A，得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代換得到∠1=∠2，推出△AEB∽△BAC，得到比例式，即可得到結(jié)論；
（2）點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°當△BAE∽△CEB（如圖2），∠1=∠BCE，又BC∥AD，由平行線的性質(zhì)得到∠2=∠BCE，推出△BAE∽△EDC，得到比例式$\frac{x}{a}=\frac{a}{b-x}$，得到一元二次方程x²-bx+a²=0，根據(jù)方程根的情況，得到結(jié)論．

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{5}{13}$，
∴AC=13，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∴b=12；
故答案為：12；
②如圖1，∵BE⊥AC，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠ABC=90°，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
即$\frac{AE}{5}=\frac{5}{12}$，
∴$AE=\frac{25}{12}$；

（2）∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，
∴當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°，
當△BAE∽△CEB（如圖2）
∴∠1=∠BCE，
又∵BC∥AD，
∴∠2=∠BCE，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠EDC=90°，
∴△BAE∽△EDC，
∴$\frac{AE}{DC}=\frac{AB}{DE}$，
即$\frac{x}{a}=\frac{a}{b-x}$，
∴x²-bx+a²=0，
即${（x-\frac{2}）^2}=\frac{{{b^2}-4{a^2}}}{4}$，
當b²-4a²≥0，
∵a＞0，b＞0，∴b≥2a，
即b≥2a時，$x=\frac{{b±\sqrt{{b^2}-4{a^2}}}}{2}$．
綜上所述：當a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時$x=\frac{1}{2}b$（或x=a）；當a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時$x=\frac{{b±\sqrt{{b^2}-4{a^2}}}}{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，一元二次方程根的情況，注意分類討論思想的應(yīng)用．