Question

18．如圖，已知△ABD中，AB=AD=9，BD=3$\sqrt{5}$．
（1）請你按照下面的步驟畫圖（不寫作法，保留作圖痕迷）：
第一步：作AB的垂直平分線交AB于點O；
第二步：以點為圓心，OA為半徑作⊙O交BD于點C；
第三步：過點C作AD的垂線，交AD于點E；
第四步：連接AC．
（2）求證：CE為⊙O的切線；
（3）求AE的長．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作線段的垂直平分線和過直線外一點作直線的垂線）依次畫圖；
（2）連結(jié)OC，由圓周角定理得到∠ACB=90°，則利用等腰三角形的性質(zhì)得BC=CD，則OC為△ABD的中位線，所以OC∥AD，由于CE⊥AD，則OC⊥CE，于是根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（3）先利用勾股定理計算出AC=$\frac{3\sqrt{31}}{2}$，再證明Rt△ACE∽Rt△ADC，然后利用相似比計算AE的長．

解答 （1）解：如圖；
（2）證明：連結(jié)OC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AB=AC，
∴AC垂直平分BC，
∴BC=CD，
∵OA=OB，
∴OC為△ABD的中位線，
∴OC∥AD，
∵CE⊥AD，
∴OC⊥CE，
∴CE為⊙O的切線；
（3）解：CD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，AD=9，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{31}}{2}$，
∵∠CAE=∠DAC，
∴Rt△ACE∽Rt△ADC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{AE}{\frac{3\sqrt{31}}{2}}$=$\frac{\frac{3\sqrt{31}}{2}}{9}$，
∴AE=$\frac{31}{4}$．

點評 本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定．