Question

3．如圖①，直角三角形AOB中，∠AOB=90°，AB平行于x軸，OA=2OB，AB=5，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點A．
（1）k=8；
（2）如圖②，點P（x，y）中的反比例函數(shù)圖象上，其中1＜x＜8，連接OP，過點O作OQ⊥OP，且OP=2OQ，連接PQ，設(shè)點Q坐標為（m，n），求n與m的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量m的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，若點Q坐標為（m，1），求△POQ的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB與y軸交于點C，如圖所示，根據(jù)OA=2OB，設(shè)OB=x，則有OA=2x，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出x的值，確定出OA與OB的長，利用面積法求出OC的長，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長，確定出A的坐標，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）分別過P，Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，得到三角形QOM與三角形PON相似，由相似得比例表示出PN與ON，進而表示出P坐標，代入反比例解析式即可確定出n與m的函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論及題意確定出P與Q坐標，確定出QM，OM，PN，ON的長，三角形POQ面積=梯形PQMN面積-三角形QOM面積-三角形PNO面積，求出即可．

解答 解：（1）設(shè)AB與y軸交于點C，如圖所示，
在Rt△AOB中，OA=2OB=2x，OB=x，AB=5，
根據(jù)勾股定理得：x²+（2x）²=5²，
解得：x=$\sqrt{5}$，
∴OA=2$\sqrt{5}$，OB=$\sqrt{5}$，
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OC，
∴OC=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}×\sqrt{5}}{5}$=2，
在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC=$\sqrt{O{A}^{2}-O{C}^{2}}$=4，
∴A（4，2），
把A坐標代入反比例解析式得：k=8；
故答案為：8；
（2）分別過P，Q作PN⊥x軸，QM⊥x軸，
∵∠QOM+∠OQM=90°，∠QOM+∠PON=90°，
∴∠OQM=∠PON，
∵∠QMO=∠PNO=90°，
∴△OQM∽△PON，
∴$\frac{QM}{ON}$=$\frac{OM}{PN}$=$\frac{OQ}{OP}$=$\frac{1}{2}$，
∵Q（m，n），
∴OM=-m，QM=n，
∴PN=-2m，ON=2n，即P（2n，-2m），
把P坐標代入反比例解析式得：-4mn=8，即-mn=2，
則n與m的函數(shù)解析式為n=-$\frac{2}{m}$（-2＜m＜-$\frac{1}{2}$）；
（3）根據(jù)題意及（2）得：n=1，m=-2，即Q（-2，1），P（2，4），
∴QM=1，PN=4，OM=2，ON=2，即MN-2+2=4，
∴S_△POQ=S_梯形PQMN-S_△QOM-S_△PON=$\frac{1}{2}$×4×（1+4）-$\frac{1}{2}$×1×2-$\frac{1}{2}$×2×4=10-1-4=5．

點評 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，勾股定理，以及梯形，三角形面積求法，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題第二問的關(guān)鍵．