Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為5的正方形ABCD斜靠在y軸上，頂點(diǎn)A（3，0），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象經(jīng)過點(diǎn)C，將正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，得正方形AB₁C₁D₁，且B₁恰好落在x軸的正半軸上，此時(shí)邊B₁C₁交反比例圖象于點(diǎn)E，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是（　�。�

• A． $\frac{5}{2}$
• B． 3
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 先根據(jù)勾股定理求出OD的長，再過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，根據(jù)ASA定理得出△CDF≌△DAO，故可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，求出k的值，再求出OH的長，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：∵Rt△AOD中，OA=3，AD=5，
∴OD=$\sqrt{{AD}^{2}-{OA}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
過點(diǎn)C作CF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵∠CDF+∠ADO=90°，∠CDF+∠DCF=90°，
∴∠DCF=∠ADO，
同理，∠CDF=∠DAO，
在△CDF與△DAO中，
$\left\{\begin{array}{l}∠DCF=∠ADO\\ CD=AD\\∠CDF=∠DAO\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△DAO（ASA），
∴CF=OD=4，DF=OA=3，
∴C（4，7）．
∵反比例函數(shù)y=圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴k=4×7=28，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{28}{x}$．
∵OH=OA+AH=3+5=8，
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為8，
∴y=$\frac{28}{8}$=$\frac{7}{2}$，
∴點(diǎn)E的縱坐標(biāo)是$\frac{7}{2}$．
故選C．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，難度適中．