Question

12．已知一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第二象限內(nèi)左等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，如圖1所示．
（1）填空：AB=5，BC=5$\sqrt{2}$．
（2）將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
①當(dāng)AC與x軸平行時(shí)，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，-2）或（0，8）
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，如圖2所示，求過B、D兩點(diǎn)直線的函數(shù)關(guān)系式．
③在②的條件下，旋轉(zhuǎn)過程中AC掃過的圖形的面積是多少？
（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，點(diǎn)C′為直線AB上的一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出△ABC掃過的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，結(jié)合一次函數(shù)的解析式求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用勾股定理即可解答；
（2）①因?yàn)锽（0，3），所以O(shè)B=3，所以AB=5，所以AO=AB-BO=5-3=2，所以A（0，-2）；
②過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，證明△AOB≌△CFA，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出直線AC解析式，根據(jù)AC∥BD，所以直線BD的解析式的k值與直線AC的解析式k值相同，設(shè)出解析式，即可解答．
③利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)而得出A，B，C對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置進(jìn)而得出答案，再利用以BC為半徑90°圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90°圓心角的扇形面積求出答案；
（3）利用平移的性質(zhì)進(jìn)而得出△ABC掃過的圖形是平行四邊形的面積．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴AO=4，BO=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$
故答案為：5；5$\sqrt{2}$．
（2）①如圖1，
∵B（0，3），
∴OB=3，
∵AB=5，
∴AO=AB-BO=5-3=2，
或AO=AB+BO=5+3=8，
∴A（0，-2）或（0，8）．
故答案為：（0，-2）或（0，8）．
②如圖2，
過點(diǎn)C作CF⊥OA與點(diǎn)F，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠BAO+∠CAF=90°，
∵∠OBA+∠BAO=90°，
∴∠CAF=∠OBA，
在△AOB和△CFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFA=∠AOB=90°}\\{∠CAF=∠OBA}\\{AC=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOB≌△CFA（AAS）；
∴OA=CF=4，OB=AF=3，
∴OF=7，CF=4，
∴C（-7，4）
∵A（-4，0）
設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，
將A與C坐標(biāo)代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-7k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
則直線AC解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-$\frac{16}{3}$，
∵將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)，得到△BDE，
∴∠ABD=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠ABD=∠CAB=90°，
∴AC∥BD，
∴設(shè)直線BD的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+b₁，
把B（0，3）代入解析式的：b₁=3，
∴直線BD的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+3；
③因?yàn)樾�轉(zhuǎn)過程中AC掃過的圖形是以BC為半徑90°圓心角的扇形面積減去以AB為半徑90°圓心角的扇形面積，
所以可得：S=$\frac{90π（5\sqrt{2}）^{2}}{360}$-$\frac{90π×{5}^{2}}{360}$=$\frac{25}{4}π$
（3）將△ABC向右平移到△A′B′C′的位置，△ABC掃過的圖形是一個(gè)平行四邊形和三角形ABC，
如圖3：將C點(diǎn)的縱坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=$\frac{3}{4}$x+3，求得C′的橫坐標(biāo)為$\frac{4}{3}$，
平行四邊CAA′C′的面積為（7+$\frac{4}{3}$）×4=$\frac{100}{3}$，
三角形ABC的面積為$\frac{1}{2}$×5×5=$\frac{25}{2}$
△ABC掃過的面積為：$\frac{100}{3}+\frac{25}{2}$=$\frac{275}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．