Question

11．定義：當(dāng)點(diǎn)P在射線OA上時(shí)，把$\frac{OP}{OA}$的值叫做點(diǎn)P在射線OA上的射影值；當(dāng)點(diǎn)P不在射線OA上時(shí)，把射線OA上與點(diǎn)P最近點(diǎn)的射影值，叫做點(diǎn)P在射線OA上的射影值，例如：如圖1，△OAB三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，BP是OA邊上的高，則點(diǎn)P和點(diǎn)B在射線OA上的射影值均為$\frac{OP}{OA}$=$\frac{1}{3}$．
（1）在△OAB中，
①點(diǎn)B在射線OA上的射影值小于1時(shí)，則△OAB是銳角三角形；
②點(diǎn)B在射線OA上的射影值等于1時(shí)，則△OAB是直角三角形；
③點(diǎn)B在射線OA上的射影值大于1時(shí)，則△OAB是鈍角三角形；
其中真命題有B
A．①②B．②③C．①③D．①②③
（2）已知：點(diǎn)C是射線OA上一點(diǎn)，CA=OA=1，以O(shè)為圓心，OA為半徑畫(huà)圓，點(diǎn)B是⊙O上任意點(diǎn)．
①如圖2，若點(diǎn)B在射線OA上的射影值為$\frac{1}{2}$，求證：直線BC是⊙O的切線；
②如圖3，已知D為線段BC的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)D在射線OA上的射影值為x，點(diǎn)D在射線OB上的射影值為y，直接寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)射影值的定義一一判斷即可解決問(wèn)題．
（2）①根據(jù)兩邊成比例夾角相等的兩個(gè)三角形相似，可得△BOH∽△COB，推出∠BHO=∠CBO=90°，由此即可證明；
②圖形是上下對(duì)稱(chēng)的，只考慮B在直線OC上以及OC上方部分的情形．分兩種情形考慮：當(dāng)∠DOB＜90°時(shí)，當(dāng)∠DOB≥90°時(shí)．

解答 解：（1）①錯(cuò)誤．點(diǎn)B在射線OA上的射影值小于1時(shí)，∠OBA可以是鈍角，故△OAB不一定是銳角三角形．
②正確．點(diǎn)B在射線OA上的射影值等于1時(shí)，AB⊥OA，∠OAB=90°，△ABC是直角三角形．
③正確．B在射線OA上的射影值大于1時(shí)，∠OAB是鈍角，△ABC是鈍角三角形．故答案為B．

（2）①如圖2中，作BH⊥OC于H．

∵$\frac{OH}{OC}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OB}{OC}$=$\frac{1}{2}$，OA=OB=OC=1，
∴$\frac{OH}{OB}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠BOH=∠COB，
∴△BOH∽△COB，
∴∠BHO=∠CBO=90°，
∴BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切線．

②圖形是上下對(duì)稱(chēng)的，只考慮B在直線OC上以及OC上方部分的情形．

當(dāng)∠DOB＜90°時(shí)，設(shè)DM=h，
∵BD=DC，
∴S_△OBD=S_△ODC，
∴$\frac{1}{2}$•OB•DN=$\frac{1}{2}$•OC•DM，
∴DN=2h
∵OD²=DN²+ON²=DM²+OM²，
∴4h²+y²=h²+x²，
∴3h²=x²-y²      ①，
∵BD²=CD²，
∴4h²+（1-y）²=h²+（2-x）²     ②，
①②消去y得到y(tǒng)=2x-$\frac{3}{2}$．
如圖，當(dāng)∠BOD=90°時(shí)，

在Rt△ODM中，易知OD=2DM，
∴∠DOM=30°，設(shè)DM=h，則OD=2h．OM=$\sqrt{3}$h，
∴h²+（2-$\sqrt{3}$h）²=1²+4h²，
∴h=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴OM=$\frac{3}{4}$，
當(dāng)點(diǎn)B在OC上時(shí)，OD=$\frac{1}{2}$，
綜上所述，當(dāng)$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{4}$時(shí)，y=0，
當(dāng)$\frac{3}{4}$＜x$≤\frac{3}{2}$時(shí)，y=2x-$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、射影值的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．