Question

8．當三角形中的一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們定義此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”
（1）若一個“特征三角形”的“特征角”為100°，則這個“特征三角形”的最小內角的度數為30°
（2）若一個“特征三角形”恰好是直角三角形，則這個“特征三角形”的“特征角”的度數為90°或60°
（3）求一個“特征三角形”的“特征角”α的度數的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知一個內角α是另一個內角β的兩倍得出β的度數，進而求出最小內角即可；
（2）分①“特征角”的2倍是直角時，根據“特征角”的定義列式計算即可得解；②“特征角”的2倍與“特征角”都不是直角，根據直角三角形兩銳角互余列方程求解即可；
（3）根據“特征角”的定義用α表示出β，再根據三角形內角和定理即可得出結論．

解答 解：（1）∵α=2β，α=100°，
∴β=50°，180°-100°-50°=30°，
故答案為：30°；

（2）①“特征角”是直角時，“特征角”90°；
②“特征角”不是直角時，設“特征角是2x”，
由題意得，x+2x=90°，
解得x=60°，
所以，“特征角”是60°，
綜上所述，這個“特征角”的度數為90°或60°．
故答案為：90°或60°；

（3）∵α=2β，
∴β=$\frac{α}{2}$，
∵0＜α+β＜180°，即0＜α+$\frac{α}{2}$＜180°，解得0＜α＜120°．

點評 本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．