Question

18．如圖1，二次函數(shù)y=ax²+bx+3$\sqrt{3}$經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），G（-1，0）兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）若點(diǎn)M時(shí)拋物線在第一象限圖象上的一點(diǎn)，求△ABM面積的最大值；
（3）拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)E（0，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）作x軸的平行線，交AB于點(diǎn)F，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得ME的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．
（3）即可確定△BEP，根據(jù)相似三角形的判定定理即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)，解題時(shí)要注意答案的不唯一性．

解答 解：（1）將A、G點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3\sqrt{3}=0}\\{a-b+3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；
（2）作ME⊥x軸交AB于E點(diǎn)，如圖1
，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3$\sqrt{3}$，即B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3$\sqrt{3}$）
直線AB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
設(shè)M（n，-$\sqrt{3}$n²+2$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$），E（n，-$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$），
ME═-$\sqrt{3}$n²+2$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$）=-$\sqrt{3}$n²+5$\sqrt{3}$n，
S_△ABM=$\frac{1}{2}$ME•x_A=$\frac{1}{2}$（-$\sqrt{3}$n²+5$\sqrt{3}$n）×3=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75\sqrt{3}}{8}$，
當(dāng)n=$\frac{5}{2}$時(shí)，△ABM面積的最大值是$\frac{75\sqrt{3}}{8}$；
（3）存在；理由如下：
OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AP=2，OP=1，BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
當(dāng)y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時(shí)，-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得x=$\frac{7}{3}$，即EF=$\frac{7}{3}$
將△BEP繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△B'EC（如圖3），
∵OB⊥EF，
∴點(diǎn)B'在直線EF上，
∵C點(diǎn)橫坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO長(zhǎng)度，C點(diǎn)縱坐標(biāo)絕對(duì)值等于EO-PO長(zhǎng)度，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1），
過F作FQ∥B'C，交EC于點(diǎn)Q，
則△FEQ∽△B'EC，
由$\frac{BE}{EF}$=$\frac{B′E}{EF}$=$\frac{CE}{EQ}$=$\sqrt{3}$，
可得Q的坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
根據(jù)對(duì)稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q'（-$\frac{2}{3}$，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）也符合條件．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用三角形的面積得出二次函數(shù)；解（3）的關(guān)鍵是相似三角形的判定與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，還要注意答案的不唯一性，不要漏解．