Question

4．如圖，長方形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD上的E點處，折痕的一端G點在邊BC上．
（1）如圖（1），當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上且AE=4時，求AF的長
（2）如圖（2），當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上且BG=10時，
①求證：EF=EG．
②求AF的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BF=EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）①根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠BGF=∠EGF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BGF=∠EFG，從而得到∠EGF=∠EFG，再根據(jù)等角對等邊證明即可；
②根據(jù)翻折的性質(zhì)可得EG=BG，HE=AB，F(xiàn)H=AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式計算即可得解．

解答 （1）解：如圖1，∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，
∴BF=EF，
∵AB=8，
∴EF=8-AF，
在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，
即4²+AF²=（8-AF）²，
解得AF=3；

（2）如圖2，
①證明：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，
∴∠BGF=∠EGF，
∵長方形紙片ABCD的邊AD∥BC，
∴∠BGF=∠EFG，
∴∠EGF=∠EFG，
∴EF=EG；

②解：∵紙片折疊后頂點B落在邊AD上的E點處，
∴EG=BG=10，HE=AB=8，F(xiàn)H=AF，
∴EF=EG=10，
在Rt△EFH中，F(xiàn)H=$\sqrt{E{F}^{2}-H{E}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴AF=FH=6．

點評 本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記翻折前后兩個圖形能夠重合得到相等的線段和角是解題的關(guān)鍵．