Question

10．如圖，已知四邊形ABCD中，兩組對(duì)邊延長后分別交于，Q兩點(diǎn)，∠P，∠Q的平分線交于M．
（1）已知∠A=60°，∠QCP=150°，求∠QMP．
（2）若∠A+∠QCP=180°，求證：PM⊥QM．

Answer 1

分析 （1）連接PQ，由三角形的內(nèi)角和得到∠QCP=180°-∠1-∠2，由角平分線的定義得到∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）由（1）知，∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）
根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）連接PQ，
∵∠QCP=180°-∠1-∠2，
∠A=180°-∠AQP-∠APQ=180°-∠1-∠2-∠AQB-∠APD
又∵∠P，∠Q的平分線交于M，
∴∠AQB=2∠3，∠APD=2∠4，
∴∠QCP+∠A=（180°-∠1-∠2）+（180°-∠1-∠2-2∠3-2∠4）
=360°-2∠1-2∠2-2∠3-2∠4，
∴$\frac{1}{2}$（∠QCP+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠BCD=∠QCP，
∴$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=180°-∠1-∠2-∠3-∠4，
又∵∠QMP=180°-∠MQP-∠MPQ=180°-∠1-∠3-∠2-∠4，
∴∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）=$\frac{1}{2}$×（150°+60°）=105°；

（2）由（1）知，∠QMP=$\frac{1}{2}$（∠BCD+∠A）
∵∠A+∠QCP=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠QMP=90°，
∴PM⊥QM．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．