Question

9．問題1
現(xiàn)有一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)，若沿直線DE折疊．
研究（1）：如果折成圖①的形狀，使A點(diǎn)落在CE上，則∠1與∠A的數(shù)量關(guān)系是∠1=2∠A
研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想∠1+∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2=2∠A
研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想∠1、∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
問題2
研究（4）：將問題1推廣，如圖④，將四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A、B落在四邊形EFCD的內(nèi)部時(shí)，∠1+∠2與∠A、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)折疊性質(zhì)和三角形的外角定理得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)折疊得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由兩個(gè)平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°與四個(gè)折疊角的差，化簡得結(jié)果；
（3）利用兩次外角定理得出結(jié)論；
（4）與（2）類似，先由折疊得：∠BMN=∠B′MN，∠ANM=∠A′NM，再由兩平角的和為360°得：∠1+∠2=360°-2∠BMN-2∠ANM，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得：∠BMN+∠ANM=360°-∠A-∠B，代入前式可得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖1，∠1=2∠A，理由是：
由折疊得：∠A=∠DA′A，
∵∠1=∠A+∠DA′A，
∴∠1=2∠A；
故答案為：∠1=2∠A；
（2）如圖2，猜想：∠1+∠2=2∠A，理由是：
由折疊得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；
故答案為：∠1+∠2=2∠A；
（3）如圖3，∠2-∠1=2∠A，理由是：
∵∠2=∠AFE+∠A，∠AFE=∠A′+∠1，
∴∠2=∠A′+∠A+∠1，
∵∠A=∠A′，
∴∠2=2∠A+∠1，
∴∠2-∠1=2∠A；
（4）如圖4，由折疊得：∠BMN=∠B′MN，∠ANM=∠A′NM，
∵∠DNA+∠BMC=360°，
∴∠1+∠2=360°-2∠BMN-2∠ANM，
∵∠BMN+∠ANM=360°-∠A-∠B，
∴∠1+∠2=360°-2（360°-∠A-∠B）=2（∠A+∠B）-360°，
故答案為：∠1+∠2=2（∠A+∠B）-360°．

點(diǎn)評 本題是折疊變換問題，思路分兩類：①一類是利用外角定理得結(jié)論；②一類是利用平角定義和多邊形內(nèi)角和相結(jié)合得結(jié)論；字母書寫要細(xì)心，角度比較復(fù)雜，是易錯(cuò)題．