Question

10．如圖，已知A（-4，0），B（-1，4），將線段AB繞點(diǎn)O，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段A′B′．
（1）若直線A′B′的函數(shù)解析式為y₁=mx+n，求直線A′B′的解析式；
（2）拋物線y₂=ax²-19cx+16c經(jīng)過(guò)A′，B′兩點(diǎn)，求拋物線的解析式并畫(huà)出它的圖象；
（3）在（2）的條件下，觀察圖象，當(dāng)y₁≥y₂時(shí)，寫(xiě)出x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，借助網(wǎng)格線畫(huà)出點(diǎn)A′（0，4），點(diǎn)B′（4，1），然后利用待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再利用配方法得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，接著求出拋物線與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用描點(diǎn)法畫(huà)出拋物線；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象，找出直線A′B′不在拋物線下方所對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍即可．

解答 解：（1）如圖，點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（4，1），
把A′（0，4），點(diǎn)B′（4，1）代入y₁=mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{4m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{4}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
所以直線A′B′的解析式為y₁=-$\frac{3}{4}$x+4；
（2）把A′（0，4），點(diǎn)B′（4，1）代入y₂=ax²-19cx+16c得$\left\{\begin{array}{l}{16c=4}\\{16a-19c×4+16c=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
所以拋物線解析式為y₂=x²-$\frac{19}{4}$x+4，
y₂=x²-$\frac{19}{4}$x+4=（x-$\frac{19}{8}$）²-$\frac{105}{64}$，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{19}{8}$，-$\frac{105}{64}$），
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+4}\\{y={x}^{2}-\frac{19}{4}x+4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以直線A′B′與拋物線相交于點(diǎn)A′（0，4）和點(diǎn)B′（4，1），
如圖；
（3）當(dāng)0≤x≤4時(shí)，y₁≥y₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對(duì)應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)線段也相等，由此可以通過(guò)作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)與不等式（組）．