Question

15．如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，過點(diǎn)A作邊BC的垂線，垂足為點(diǎn)D，將△ADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得列△DEF（其中點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F），直線AE，F(xiàn)C相交于點(diǎn)G，連接BG，設(shè)BG=y，在旋轉(zhuǎn)過程中，y的最大值是3+3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得AD=ED、CD=FD、∠ADC=∠EDF=90°，從而知$\frac{AD}{CD}=\frac{ED}{FD}$且∠ADE=∠CDF，可證△ADE∽△CDF得∠DAE=∠DCF，結(jié)合∠DCF+∠DCG=180°、∠ADC=90°可知點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)在以AC為直徑的圓上，取AC的中點(diǎn)O，連接BO、GO，可得OA=OC=OG=$\frac{1}{2}$AC=3，∠BOC=90°，根據(jù)BG≤BO+OG可得答案．

解答 解：∵△ABC是邊長為6的等邊三角形，且AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，AC=6，
∵△EDF是由△ADC繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)所得，
∴△EDF≌△ADC，
∴AD=ED、CD=FD，∠ADC=∠EDF=90°，即∠ADE+∠EDC=∠CDF+∠EDC，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{ED}{FD}$，且∠ADE=∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴∠DAE=∠DCF，
∵∠DCF+∠DCG=180°，
∴∠DAG+∠DCG=180°，
∴∠ADC+∠AGC=180°，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠AGC=90°，
則點(diǎn)A、D、C、G四點(diǎn)在以AC為直徑的圓上，
如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接BO、GO，

則OA=OC=OG=$\frac{1}{2}$AC=3，∠BOC=90°，
∴BO=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵BG≤BO+OG=3+3$\sqrt{3}$，
∴在旋轉(zhuǎn)過程中，y的最大值是3+3$\sqrt{3}$，
故答案為：3+3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及四點(diǎn)共圓，通過旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)得出四點(diǎn)共圓是解題的關(guān)鍵．