Question

2．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于A（1，6），B（3，n）兩點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象寫出不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0的解集；
（3）若點M在x軸上、點N在y軸上，且以M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點M、N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由A點坐標(biāo)可求得m的值，可求得反比例函數(shù)解析式，則可求得B點坐標(biāo)，由A、B兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線AB的解析式；
（2）結(jié)合函數(shù)圖象可知不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時對應(yīng)的x的取值范圍，結(jié)合A、B坐標(biāo)可求得答案；
（3）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，①當(dāng)M在x軸正半軸，N在y軸正半軸時，過A作AC∥y軸，過B作BC∥x軸，可證明△ABC≌△NMO，則可求得OM和ON，②當(dāng)M在x軸負(fù)半軸，N在y軸負(fù)半軸時，同理可求得OM和ON的長，則可求得M、N的坐標(biāo)；當(dāng)AB為對角線時，可求得M、N、A、B四點共線，不合題意．

解答 解：
（1）反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象過A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函數(shù)解析為y=$\frac{6}{x}$，
把x=3代入可得n=2，
∴B（3，2），
設(shè)直線AB解析式為y=kx+b，
把A、B坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{k+b=6}\\{3k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)解析式為y=-2x+8；
（2）不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0可化為不等式kx+b＞$\frac{m}{x}$，
即直線在反比例函數(shù)圖象上方時所對應(yīng)的自變量x的取值范圍，
∵A（1，6），B（3，2），
∴不等式kx+b-$\frac{m}{x}$＞0的解集為1＜x＜3或x＜0；
（3）當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，
①當(dāng)M在x軸正半軸，N在y軸正半軸時，如圖1，過A作AC∥y軸，過B作BC∥x軸，

∵A（1，6），B（3，2），
∴BC=3-1=2，AC=6-2=4，
∵MN∥AB，且MN=AB，
∴∠ONM=∠CAB，
在△NOM和△ACB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠MON=∠ACB}\\{∠ONM=∠CAB}\\{MN=AB}\end{array}\right.$
∴△NOM≌△ACB（AAS），
∴OM=BC=2，ON=AC=4，
∴M（2，0），N（0，4）；
②當(dāng)M在x軸的負(fù)半軸、N在y軸的負(fù)半軸時，同理可求得M（-2，0），N（0，-4）；
當(dāng)AB為對角線時，設(shè)M（x，0），N（0，y），
∵A（1，6），B（3，2），
∴平行四邊形的對稱中心為（2，4），
∴x+0=4，y+0=8，解得x=4，y=8，此時M（4，0），N（0，8），
在y=-2x+8中，令y=0可得x=4，令x=0可得y=8，
∴A、B、M、N四點共線，不合題意，舍去；
綜上可知以M、N、A、B為頂點的四邊形是平行四邊形時，M（-2，0），N（0，-4）或（4，0），N（0，8）．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想等知識．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在（2）中注意數(shù)形結(jié)合，在（3）中確定出M、N的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．