Question

16．如圖所示，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（-2，0）、B（4，0），其原點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、D重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫出原點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取值最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，△PEF沿直線EF折疊，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P′，請(qǐng)直接寫出P′點(diǎn)的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)P′是否在該拋物線上．

Answer 1

分析 （1）本題需先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax²+bx+4即可求出它的解析式．
（2）本題首先設(shè)出BD解析式y(tǒng)=kx+b，再把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據(jù)面積公式即可求出最大值．
（3）本題需先根據(jù)（2）得出最大值來(lái)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得出四邊形PEOF是矩形，再作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′設(shè)出MC=m，則MF=m．從而得出P′M與P′E的值，根據(jù)勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐標(biāo)，判斷出不在拋物線上．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+4（a≠0）經(jīng)過(guò)A（-2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)
∴把（-2，0）、B（4，0）代入拋物線得：a=-$\frac{1}{2}$，b=1，
∴拋物線解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$）；

（2）設(shè)直線BD解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{k+b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{3}{2}$，b=6，
直線BD解析式為y=-$\frac{3}{2}$x+6，
S=$\frac{1}{2}$PE•OE，
S=$\frac{1}{2}$PE•OE=$\frac{1}{2}$xy=$\frac{1}{2}$x（-$\frac{3}{2}$x+6）=-$\frac{3}{4}$x²+3x，
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，$\frac{9}{2}$），B（4，0）
∴1＜x＜4，
∴S=-$\frac{3}{4}$x²+3x（1＜x＜4），
S=-$\frac{3}{4}$（x²-4x++4）+3，
=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S取得最大值，最大值為3；

（3）當(dāng)S取得最大值，x=2，y=3，
∴P（2，3），
∴四邊形PEOF是矩形．
作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接P′E，P′F．
過(guò)P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點(diǎn)M，
設(shè)MC=m，則MF=m，P′M=3-m，P′E=2，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
2²+（3-m）²=m²，
解得m=$\frac{13}{6}$，
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=$\frac{10}{13}$，
由△EHP′∽△EP′M，
可得$\frac{EH}{EP′}$=$\frac{EP′}{EM}$，
∴$\frac{EH}{2}$=$\frac{2}{\frac{13}{6}}$，
解得：EH=$\frac{24}{13}$．
∴OH=3-$\frac{24}{13}$=$\frac{15}{13}$．
∴P′坐標(biāo)（-$\frac{10}{13}$，$\frac{15}{13}$）．
不在拋物線上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要根據(jù)拋物線的性質(zhì)，再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，去求答案是解題的關(guān)鍵．