Question

14．如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=$\frac{4}{3}$x²+bx-4與x軸交于A、B兩點（點B在點A右側(cè)），與y軸交于點C，點B的坐標(biāo)為（1，0），拋物線上有一動點P，點P的橫坐標(biāo)為m，且-3＜m＜0，過點P作y軸的平行線分別交x軸和直線AC于點D和E．
（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式．
（2）連接PC，求出當(dāng)△PEC是直角三角形時m的值．
（3）如圖2，連接BC，則在第二象限內(nèi)是否存在一點M，使得四邊形PCBM是矩形？如果存在，直接寫出此時點P和點M的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把B點坐標(biāo)代入y=$\frac{4}{3}$x²+bx-4中求出b即可得到拋物線的解析式，則利用解方程$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4=0得A（-3，0），再確定C點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）如圖1，討論：當(dāng)∠EPC=90°時，PC∥x軸，則點P與點C為拋物線上的對稱點，利用拋物線的對稱性可確定此時P點坐標(biāo)，從而得到此時m的值；當(dāng)∠ECP=90°，則EC⊥PC，根據(jù)來那個直線垂直，一次項系數(shù)互為負(fù)倒數(shù)得到直線PC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-4，然后通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-4}\end{array}\right.$得P點坐標(biāo)，從而得到即此時m的值；
（3）如圖2，先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為y=4x-4，再根據(jù)PC⊥BC得到直線PC的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x-4，于是解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=-\frac{1}{4}x-4}\end{array}\right.$得P點坐標(biāo)，然后利用點C平移到點P的規(guī)律，寫出點B平移到點M的規(guī)律，從而得到M點坐標(biāo)．

解答 解：（1）把B（1，0）代入y=$\frac{4}{3}$x²+bx-4得$\frac{4}{3}$+b-4=0，解得b=$\frac{8}{3}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4，
當(dāng)y=0時，$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4=0，解得x₁=-3，x₂=1，則A（-3，0），
當(dāng)x=0時，y=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-4=-4，則C（0，-4），
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+n，
把A（-3，0），C（0，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3k+n=0}\\{n=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-4；
（2）如圖1，
當(dāng)∠EPC=90°時，PC∥x軸，則點P與點C為拋物線上的對稱點，而拋物線的對稱軸為直線x=-1，所以此時P點坐標(biāo)為（-2，-4），即此時m的值為-2；
當(dāng)∠ECP=90°，則EC⊥PC，所以直線PC的解析式為y=$\frac{3}{4}$x-4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=\frac{3}{4}x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{23}{16}}\\{y=-\frac{325}{64}}\end{array}\right.$，所以P（-$\frac{23}{16}$，-$\frac{325}{64}$），即此時m的值為-$\frac{23}{16}$，
綜上所述，m的值為-2或-$\frac{23}{16}$；
（3）存在．
如圖2，設(shè)直線BC的解析式為y=px+q，
把B（1，0），C（0，-4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{p+q=0}\\{q=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=4}\\{q=-4}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=4x-4，
∵四邊形PCBM為矩形，
∴∠PCB=90°，即PC⊥BC，
∴直線PC的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x-4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-4}\\{y=-\frac{1}{4}x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{35}{16}}\\{y=-\frac{221}{64}}\end{array}\right.$，所以P（-$\frac{35}{16}$，-$\frac{221}{64}$），
∵點C向右平移$\frac{35}{16}$個單位，再向上平移$\frac{35}{64}$個單位得到點P，
∴點B向右平移$\frac{35}{16}$個單位，再向上平移$\frac{35}{64}$個單位得到點M，
∴M（-$\frac{19}{16}$，$\frac{35}{64}$）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求拋物線和一次函數(shù)解析式，會把求兩個函數(shù)的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題，理解垂直兩直線的一次項系數(shù)的負(fù)倒數(shù)關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握點平移的坐標(biāo)規(guī)律；會運用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．