Question

18．（1）問題發(fā)現：
如圖①，在等邊三角形ABC中，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，NC與AB的位置關系為NC∥AB；
（2）深入探究：
如圖②，在等腰三角形ABC中，BA=BC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，連接CN，試探究∠ABC與∠ACN的數量關系，并說明理由；
（3）拓展延伸：
如圖③，在正方形ADBC中，AD=AC，點M為BC邊上異于B、C的一點，以AM為邊作正方形AMEF，點N為正方形AMEF的中點，連接CN，若BC=10，CN=$\sqrt{2}$，試求EF的長．

Answer 1

分析 （1）根據△ABC，△AMN為等邊三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°從而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，證明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
（2）根據△ABC，△AMN為等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根據相似三角形的性質得到$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，利用等腰三角形的性質得到∠BAC=∠MAN，根據相似三角形的性質即可得到結論；
（3）如圖3，連接AB，AN，根據正方形的性質得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根據相似三角形的性質得出$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，得到BM=2，CM=8，再根據勾股定理即可得到答案．

解答 解：（1）NC∥AB，理由如下：
∵△ABC與△MN是等邊三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM與△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAM=∠CAN}&{\;}\\{AM=AN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠B=∠ACN=60°，
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，
∴CN∥AB；
故答案為：CN∥AB；

（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MN}$=1且∠ABC=∠AMN，
∴△ABC～△AMN
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
∵AB=BC，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC），
∵AM=MN
∴∠MAN=$\frac{1}{2}$（180°-∠AMN），
∵∠ABC=∠AMN，
∴∠BAC=∠MAN，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△ABM～△ACN，
∴∠ABC=∠ACN；

（3）如圖3，連接AB，AN，
∵四邊形ADBC，AMEF為正方形，
∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC
即∠BAM=∠CAN，
∵$\frac{AB}{AC}=\frac{AM}{AN}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AB}{AM}=\frac{AC}{AN}$，
∴△ABM～△ACN
∴$\frac{BM}{CN}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{CN}{BM}=\frac{AC}{AB}$=cos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{BM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BM=2，∴CM=BC-BM=8，
在Rt△AMC，
AM=$\sqrt{A{C}^{2}+M{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
∴EF=AM=2$\sqrt{41}$．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質、全等三角形的性質定理和判定定理、相似三角形的性質定理和判定定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和三角形相似是解決問題的關鍵．