Question

11．如圖，（n+1）個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，設(shè)陰影部分△B₂D₁C₁的面積為S₁，△B₃D₂C₂面積S₂，…，△B_n+1D_nC_n面積S_n，則S₂₀₁₅值為（　�。�

• A． $\frac{2013}{2014}$
• B． $\frac{2014}{2015}$
• C． $\frac{2013\sqrt{3}}{2014}$
• D． $\frac{2015\sqrt{3}}{2016}$

Answer 1

分析 由n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，則B₁，B₂，B₃，…B_n在一條直線上，可作出直線B₁B₂．易求得△AB₁C₁的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，易求得S₁的值，同理求得S₂的值，繼而求得S_n的值．

解答 解：∵n+1個邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，
∴S_△AB1C1=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
連接B₁、B₂、B₃、B₄、B₅點，顯然它們共線且平行于AC₁，
∵∠B₁C₁B₂=60°，
∴AB₁∥B₂C₁，
∴△B₁C₁B₂是等邊△，且邊長=2，
∴△B₁B₂D₁∽△C₁AD₁，
∴B₁D₁：D₁C₁=1：1，
∴S₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理：B₂B₃：AC₂=1：2，
∴B₂D₂：D₂C₂=1：2，
∴S₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
同理：B₃B₄：AC₃=1：3，
∴B₃D₃：D₃C₃=1：3，
∴S₃=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
則歸納可得：S_n=$\frac{n\sqrt{3}}{n+1}$，
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015\sqrt{3}}{2016}$，
故選：D．

點評 此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與三角形面積的求解方法，注意由一般到特殊的歸納方法，找到規(guī)律C_nD_n=$\frac{n}{n+1}$是解題的關(guān)鍵．