Question

7．如圖，P為正方形ABCD的邊BC上一點，連接AP，過點B作BQ⊥AP，交CD于點Q，將△BQC沿BQ所在的直線對折得到△BQC′，延長QC′，交BA的延長線于點M，當AB=3，BP=2PC時，QM=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 過點Q作QH⊥AB于H，如圖．易得QH=BC=AB=3，BP=2，PC=1，然后運用勾股定理可求得AP（即BQ）=$\sqrt{13}$，BH=2．易得DC∥AB，從而有∠CQB=∠QBA．由折疊可得∠C′QB=∠CQB，即可得到∠QBA=∠C′QB，即可得到MQ=MB．設(shè)QM=x，則有MB=x，MH=x-2．在Rt△MHQ中運用勾股定理就可解決問題；

解答 過點Q作QH⊥AB于H，如圖．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴QH=BC=AB=3．
∵BP=2PC，
∴BP=2，PC=1，
∴BQ=AP=$\sqrt{A{B}^{2}+P{B}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴BH=$\sqrt{B{Q}^{2}-Q{H}^{2}}$=2．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠CQB=∠QBA．
由折疊可得∠C′QB=∠CQB，
∴∠QBA=∠C′QB，
∴MQ=MB．
設(shè)QM=x，則有MB=x，MH=x-2．
在Rt△MHQ中，
根據(jù)勾股定理可得x²=（x-2）²+3²，
解得x=$\frac{13}{4}$．
∴QM的長為$\frac{13}{4}$；
故答案為：$\frac{13}{4}$．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)等知識，設(shè)未知數(shù)，然后運用勾股定理建立方程，是求線段長度常用的方法，應(yīng)熟練掌握．