Question

6．在畫二次函數(shù)的圖象時列出了下表：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
y	…	0	3	4	3	0	-5	…

觀察表格，可以得到許多信息：
（1）拋物線的對稱軸是直線x=1；當(dāng)x=-2時，對應(yīng)的y值是-5；
（2）我們還發(fā)現(xiàn)，在對稱軸右側(cè)，當(dāng)x每增加1個單位時，對應(yīng)y值除了趨勢逐漸變小外，在數(shù)量上還存在某種規(guī)律，試?yán)�用這一規(guī)律，直接寫出當(dāng)x=5時，對應(yīng)的y值是-12；
（3）函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象上有三點：A（m，y₁）、B（m+1，y₂）、C（m+2，y₃）．通過計算說明：（y₃-y₂）與（y₂-y₁）的差為定值．

Answer 1

分析 （1）觀察表格知對稱軸為x=1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，當(dāng)x=-2和當(dāng)x=4時的函數(shù)值相等，據(jù)此可以求得當(dāng)x=-2時的函數(shù)值；
（2）觀察表格，找出規(guī)律，即可求得；
（3）用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，分別求得y₁、y₂、y₃的值，代入（y₃-y₂）-（y₂-y₁）即可求得定值-2．

解答 解：（1）觀察表格知對稱軸為x=1，
∵二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，當(dāng)x=-1和x=3時的函數(shù)值相等，
∴當(dāng)x=-2和當(dāng)x=4時的函數(shù)值相等，
∵當(dāng)x=4時y=-5，
∴當(dāng)x=-2時y=-5．
故答案為：x=1，-5．
（2）我們還發(fā)現(xiàn)，在對稱軸右側(cè)，當(dāng)x每增加1個單位時，對應(yīng)y值除了趨勢逐漸變小外，在數(shù)量上還存在規(guī)律：當(dāng)x每增加1個單位時，對應(yīng)y值的差分別是-1、-3、-5、-7、-9…；
所以當(dāng)x=5時，對應(yīng)的y值是-12．
故答案為：-12．
（3）解：設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）²+4，
當(dāng)x=0時，y=3，
則有：a（0-1）²+4=3，
∴a=-1；
∴y=-（x-1）²+4．
代入A（m，y₁）、B（m+1，y₂）、C（m+2，y₃）得，
y₁=-（m-1）²+4，y₂=-（m+1-1）²+4=-m²+4，y₃=-（m+2-1）²+4=-（m+1）²+4，
∵（y₃-y₂）-（y₂-y₁）=[-（m+1）²+4+m²-4]-[-m²+4+（m-1）²-4]=（-2m-1）-（-2m+1）=-2；
∴（y₃-y₂）與（y₂-y₁）的差為定值-2．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求解析式，（2）找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．