Question

18．在如圖所示的方格中，點(diǎn)A，B，C，D都在格點(diǎn)上，且AB=BC=2CD=4，P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP，DP．
（1）設(shè)BP=x，用含字母x的代數(shù)式分別表示線段AP，DP的長(zhǎng)，并求當(dāng)x=2的時(shí)候，AP+DP的值；
（2）AP+DP是否存在最小值？若存在，求出其最小值．

Answer 1

分析 （1）分別用x表示出BP、CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出AP、DP的長(zhǎng)即可；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，再由對(duì)稱的性質(zhì)及勾股定理即可求解．

解答 解：（1）由題意結(jié)合圖形知：
AB=4，BP=x，CP=4-x，CD=2，
∴AP=$\sqrt{A{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+16}$，
DP=$\sqrt{P{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+（4-x）}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-8x+20}$；
當(dāng)x=2時(shí)，AP+DP=$\sqrt{20}$+$\sqrt{8}$=2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$；

（2）存在．
如圖，作點(diǎn)A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，
∴A′E=4，DE=6，
則A′D=$\sqrt{A′{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{52}$=$2\sqrt{13}$，
∴最小值為2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是最短線路問(wèn)題及勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解答此類題目的關(guān)鍵．